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，这样只要测量这种铁杆组成的三角形内角，就能验证三角形内角和定理。
通过一些别的实验，我们又可以测量这些杆子是否是真正符合几何定义的直线。
例如，可以测量这条杆的长度，观察它是不是两个端点之间的最短距离。
当然为了能够实施这样的测量，我们又要定义一种测量曲线长度的手段。
设想一个三角形的三条边都是通过“两点之间最短的连线”
所定义的直线段，若这个三角形的内角和不是180度，那么我们将面临一个困境：如果我们承认直线的定义是正确的，那么三角形的内角和定理则是错误的；反过来，如果我们认为三角形的内角和必须是一个平角，则将不能接受直线的定义，即两点之间的最短连线可能不是直线。
选择接受哪个定理，这是我们的自由，但是在欧几里得几何学体系下，此时这两个定理不可能都正确。
爱因斯坦理论最基本的假设可以表达为另一种形式：在有物质及其引力作用的空间中，欧几里得几何将不再成立。
这种空间中，两点之间最短距离的连线有着特殊的意义，由这样的连线组成的三角形的内角和并不是一个平角。
欧几里得空间和爱因斯坦的“弯曲”
空间之间的差别可以类比于平面和曲面之间的差别。
所有在平面上的三角形都满足欧式定理，而曲面上的三角形呢？以地球为例，只考虑地球表面上的点（不考虑地球上空或地下的点），这些点之间的连线都不是通常意义上的直线。
但是球面上两点之间最短距离的连线在航海学和测地学上也是很有意义的，它被称为测地线（Geodesie）。
对于球面来说，测地线是大圆的圆弧，地球上的所有经线以及赤道都是测地线。
考虑一个由测地线围成的三角形，就以地球上由经线和赤道围成的三角形为例，它的顶点可以是南极点和赤道上任意的两点。
由于所有经线都与纬线垂直，所以三角形中赤道和经线相交的两个角都是直角，这两个内角之和已经是一个平角，再加上南极点处的内角，这个三角形的三个内角之和一定大于一个平角。
这个例子说明，所有曲面上的三角形，它的内角和都不为180度，因此反过来说，只要一个表面的测地线所围成的三角形内角和不是一个平角，那么这个表面就是弯曲的。
这种对弯曲表面的定义可以推广到空间中。
根据爱因斯坦的理论，物质的存在对空间造成了某种扭曲，一个粒子在引力场中的运动路线是由引力空间的曲率决定的。
爱因斯坦发现用弯曲空间（Curvedspace）的几何学来描述物体运动的路径比用牛顿定律里的直线、力等概念更为简单。
另外，爱因斯坦还发现，不仅对物质粒子，光线在引力场中的路径也可以用弯曲空间的测地线这样简单的方式来描述；反过来，空间的曲率则可以通过观察运动物体和光线的路径而测得。
我们稍后将提到，包括一些物理学家在内的很多人都认为任何从光线的路径得到空间曲率的结论是荒谬的。
有些人甚至认为“弯曲空间”
的说法本身就毫无道理。
在他们看来，一个表面或一条线可以在空间中弯曲，但是空间本身不可能弯曲。
这种偏解却忽视了几何作为一种表达方式的本质。
我们已经说明，“弯曲空间”
的含义仅仅是指这种空间中由测地线组成的三角形内角之和不为一个平角。
正由于引力空间与欧式空间的关系可类比于平面与曲面之间的关系，所以借鉴了平面和曲面的说法，将引力空间称为“弯曲空间”
。
试图想象弯曲空间“看起来”
什么样，这是徒劳无用的，因为弯曲空间只是通过三角形的内角和测量来定义的一种空间。
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